Приглашаем в исторический экскурс. Следуй за нами, читатель, и ты узнаешь, как зародились, эволюционировали и ассимилировались с происходящими социальными процессами счетные системы.

На пальцах

Первые счетные системы человек, вероятно, начал использовать в эпоху позднего палеолита (40–12 тысяч лет назад). Простейшими инструментами для этого служили пальцы. Счет на пальцах широко применялся в Древнем мире и Средневековье, постепенно совершенствуясь и усложняясь.

Естественное распределение пальцев на руках и ногах привело к использованию нескольких разрядов при счете и появлению нескольких систем счисления. Десятеричная система возобладала у народов Евразии. Пятеричная долгое время применялась в Китае, Древней Греции (аттическая система счисления, вытесненная затем десятеричной ионической), Древнем Риме и среди племен тропической Африки. Двадцатеричная система была у ацтеков и майя. Использование при счете четырех пальцев двух рук (большой палец не считался) привело к появлению восьмеричной системы счисления.

В древнем Шумере возникла двенадцатеричная система счисления, в которой счет велся по фалангам четырех пальцев руки. Элементы этой системы еще длительное время использовались в различные периоды истории во многих странах. Так, в Древнем Риме либра (мера веса) равнялась 12 унциям. Введенное денежной реформой Карла Великого (VIII век) соотношение «1 шиллинг = 12 денариев» просуществовало в денежных системах различных государств много столетий. Последними странами, отказавшимися от унаследованного от каролингской реформы соотношения (1 фунт = 20 шиллингов = 240 пенсов), были Великобритания (1971 год) и Нигерия (1973 год). В Древней Руси счет «дюжинами» (большим пальцем руки по фалангам остальных четырех пальцев) применялся в торговле, особенно в Новгороде в XII–XV веках, а традиция считать некоторые товары (носовые платки, карандаши и другие) дюжинами сохранялась до начала XX века.

Ловкость рук и никакого мошенничества

В период Римской республики активная международная торговля, в которую были вовлечены Средиземноморье и Ближний Восток, дала толчок развитию пальцевого счета. С его помощью можно было показывать числа до 10 000, а с использованием других частей тела — до миллиона. Римский ритор Квинтилиан (I век) писал, что необразованного человека выдает неумение правильно показать числа на пальцах.

В различных районах мира применялись системы пальцевого счета, отличные от римской. Так, арабские торговцы, знакомые с описанной Бедой Достопочтенным системой счета, применяли и отличавшийся от нее арабско-восточноафриканский метод. Собственная система счета, с помощью которой можно было показать числа до 100 миллионов, существовала в Китае.

Посчитать предметно

Счет на пальцах имел множество достоинств: простота, компактность, «счетные приспособления» всегда при себе. Но были у него и недостатки: для фиксирования результатов приходилось прибегать к иным средствам. Использование для счета других предметов (камней, раковин, костей, палочек и так далее) позволяло устранить этот недостаток. Счет мог вестись с помощью одновременно как пальцев, так и предметов.

Считать большие числа с помощью предметов было затруднительно, поэтому, например, при счете на палочках могли использоваться либо палочки разного цвета, либо различное положение палочек (горизонтальное или вертикальное) для обозначения разных разрядов.

В Древнем Китае возникшая в эпоху Сражающихся царств (V век до нашей эры) система счета на палочках использовалась до эпохи династии Мин (XIV–XVII века). Наибольшее развитие китайские счетные палочки получили в период династий Сун (X–XIII века) и Юань (XIII–XIV века). Применение китайских счетных палочек позволяло оперировать огромными числами и производить различные действия (сложение, вычитание, умножение, деление, действия с дробями и отрицательными числами, извлечение квадратного и кубического корня). Китайский математик Чжу Шицзе (1249–1314 годы) описал также способы решения с помощью палочек алгебраических уравнений.

Заруби себе на носу

Для фиксации результатов счета стали широко применяться отметки на различных предметах: зарубки (насечки), нанесение полос краской, завязывание узелков. Известно довольно много находок костей с нанесенными на них зарубками: предметы, относящиеся к эпохе мустьерской культуры (около 50 тысяч лет назад, департамент Дордонь во Франции), кости с нарезками из Дольни-Вестонице (около 30 тысяч лет назад, Чехия), браслеты с насечками, относящиеся к мезинской культуре (около 25–30 тысяч лет назад, Черниговская область) и другие. Нет единой точки зрения, имеют ли эти зарубки декоративный или счетный характер.

В Англии использование бирок было узаконено около 1100 года при короле Генрихе I (1068–1135 года) и отменено только в 1826 году. Вплоть до конца XVIII века бирки служили для учета уплаты налогов.

Законодательством Российской империи предусматривалось применение бирок для различных целей. Так, Местное Великороссийское Положение допускало учет с помощью бирок отработанных крестьянами в пользу помещика дней, а Устав торгового судопроизводства 1887 года признавал бирки особым родом доказательств, применяемых в торговом быту.

Узелок завяжется, узелок развяжется

Различные системы для счета с помощью узелков существовали у разных народов — китайцев, персов, индийцев и других. Эта система упоминается в трудах греческого историка Геродота (V век до нашей эры). Древнекитайский философ Лао-цзы (VI–V век до нашей эры) писал об употреблении веревок и узлов для счета как об основательно забытом обычае.

Наивысшей степени развития узелковое письмо достигло в Южной Америке в эпоху расцвета государства инков (XV век). Система инков, называвшаяся «кипу», представляла собой сложные веревочные сплетения и узлы, которые могли содержать различное количество свисающих нитей — от нескольких штук до более полутора тысяч.

С помощью кипу не только проводились арифметические вычисления, но и велось исчисление времени, делались картографические описания, записывались законы и генеалогические сведения, передавались донесения, велся бухгалтерский учет. Читали кипу специально подготовленные профессионалы — «кипукумайоки».

Через полвека после уничтожения государства инков конкистадорами (1532–1533 годы) колониальные власти запретили кипу, но использование этой счетной системы в некоторых районах продолжалось до начала XX века.

Взвешенное решение

С древности своеобразным счетным устройством служили человеку весы (древнейшие весы были обнаружены археологами в Месопотамии и относятся к V тысячелетию до нашей эры). Их применяли для определения количества однородных предметов путем взвешивания вместо пересчета. Неслучайно названия некоторых денежных единиц как в период античности (мина, либральный асс), так и в более позднее время (фунт, французский ливр, итальянская лира) происходят от единиц измерения веса. Чеканившиеся в СССР с 1926 по 1991 годы монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек имели вес соответственно в 1, 2, 3 и 5 граммов, что позволяло определять сумму большого числа монет простым взвешиванием.

Важным этапом развития в древности стало появление счетных досок, получивших общее название «абак». Происхождение этого термина не установлено. Возможно, греческое слово ἄβαξ происходит от общесемитского корня слов со значением «пыль». Такое название могло быть связано с тем, что для вычислений использовались доски с углублениями и линиями, на которых в определенном порядке раскладывались однородные предметы (камешки, кости и другие), а чтобы они не скатывались с доски, она покрывалась слоем песка. Считается, что раньше, чем в Греции, абак стали применять в Вавилоне, Египте и Финикии, но археологических подтверждений этому пока не обнаружено. Пифагор (VI век до нашей эры) полагал, что счет с помощью абака должен входить в курс математики.

В Древнем Риме абак появился, вероятно, в V–VI веках и назывался calculi и abaculi (abacus). Римские абаки изготавливались из различных материалов (бронза, слоновая кость, цветное стекло). Бронзовый римский абак, хранящийся в Национальном археологическом музее Неаполя, представляет собой доску с прорезанными в ней щелями, в которых перемещаются костяшки. Семь длинных щелей с четырьмя костяшками, одна — с пятью, над каждой длинной щелью — короткая с одной костяшкой. Над длинными щелями помечены значения разрядов: миллионы, сотни тысяч, десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки, единицы, унции (то есть двенадцатые части). В щели, помеченной « », — пять костяшек (то есть 5/12). В правой части абака — щели с пометками, означающие 1/2, 1/4 и 1/6 унции.

Распад и падение Римского государства прервали развитие счетной техники. Абак в Европе был надолго забыт.

В Китае аналог абака — суаньпань — появился в VI веке и постепенно вытеснил традиционную систему счета на палочках. Со временем его устройство менялось, современный вид он приобрел в XVII веке. Суаньпань представляет собой прямоугольную раму, разделенную на две части. В большом отделении («Земля») на каждой проволоке — 5 шариков, в меньшем («Небо») — 2 шарика. Проволоки соответствуют десятичным разрядам, каждый шарик большего поля — единице, меньшего — пяти. На суаньпане можно не только производить четыре арифметических операции, но и извлекать квадратные и кубические корни.

В XV–XVI веках суаньпань был завезен в Японию, где получил название «соробан». В Японии он был модифицирован (последний раз — в 1930 году).

Абак, забытый в Европе после распада Римской империи, вновь получил распространение в X веке благодаря монаху Герберту Орильякскому (938–1003), ставшему впоследствии римским папой Сильвестром II. Герберт во время путешествия в Кордовский халифат познакомился с арабской системой цифр и с абаком.

В XV веке в Англии появилась новая форма абака — «счет на линиях», — распространившаяся в XV–XVI веках по континентальной Европе. Для счета на линиях использовались горизонтально разлинованная доска и металлические жетоны, которые в Германии назывались счетными пфеннигами, в других странах — фишками. Жетоны при счете выкладывались не только на линиях, но и между ними. Разрядность повышалась снизу вверх. Правила счета на линиях излагались во многих учебниках, изданных в XV–XVII веках, счет упоминается в созданных в то время пьесах Шекспира и Мольера.

Лечь костьми

Немецкий физик, математик и философ Готфрид Лейбниц (1646–1716 годы) предпочитал счет на линиях счету на бумаге. Постепенно первый уступал последнему, применяясь все реже. Дольше всего он сохранялся в Германии и Австрии — до конца XVIII века.

Счетные приборы, аналогичные абаку, существовали в Америке. Так, в государстве инков применялись несколько видов устройства, называвшегося «юпана». Для вычислений применялись зерна, которые раскладывались по ячейкам.

В России существовал аналогичный счету на линиях способ, называвшийся «счет костьми». Он описан в рукописных книгах XVI века, объединенных общим названием «Цифирная счетная мудрость», но возник задолго до этого. Свое название способ получил из-за использования для счета сливовых или вишневых косточек. Внешне приспособление напоминало европейскую доску для счета на линиях. Горизонтальные линии служили разделителями разрядов. Косточки на линиях обозначали единицы разряда, кость над линиями — пять единиц разряда. Иногда для счета служили металлические жетоны («пенязи», что дало второе название — «счет пенязями»). Для вычисления налогов на досках применялись добавочные разделения для подсчета трети (1/3), полутрети (1/6) и так далее до «малой чети» (1/32).

В XVI веке на смену счету костьми пришел более удобный «дощаный счет». Его полное описание содержится в списке «Счетной мудрости» 1691 года. Первоначально устройство для дощаного счета представляло собой два соединенных ящика, каждый из которых был разделен на два отделения. Наличие четырех отделений позволяло не только сохранять условие задачи, но и фиксировать промежуточные расчеты. В каждом отделении было натянуто по 14 веревочек с нанизанными на них костяшками. На верхних десяти было по 9 костяшек (иногда — по 10), они предназначались для операций с целыми числами. На нижних рядах, содержащих 3, 4, 5 или 6 косточек, производились операции с дробями. Ряды с одной или двумя костяшками представляли половину той дроби, под которой они находились.

Постепенно устройство дощаного счета совершенствовалось, в нем стали применяться только две части вместо четырех, и только нижние ряды, для работы с дробями, имели четыре отделения. Затем исчезли ряды, содержащие по одной костяшке.

В XVII веке меняется название прибора, в 1658 году «счоты» впервые упоминаются в «Переписной книге домовой казны патриарха Никона». В начале XVIII столетия дощаный счет в России окончательно трансформируется в «счеты», в дальнейшем претерпевая только незначительные внешние изменения. В XIX веке русские счеты стали известны в Западной Европе, однако использовались там только для обучения в начальной школе. В России они применялись в торговле и бухгалтерском учете до конца XX века, пока не были окончательно вытеснены калькуляторами. В начальной школе для обучения счету они служили до конца 1980-х годов.

В счетах применяется позиционная десятичная система счисления. Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд, возрастающий от единиц до сотен тысяч, а вниз — уменьшающийся от десятых до тысячных. Прут с четырьмя костяшками служит разделителем целых и дробных частей, а также для счета полушками (1/4 копейки).

Палочки на новый лад

Палочки неоднократно пытались усовершенствовать. Первую попытку предпринял сам Непер. В приложениях к «Рабдологии» он дал описание прибора, состоящего из 200 палочек, и счетной доски. Однако эти его изобретения были чрезвычайно сложны и не нашли практического применения.

Более удачными усовершенствованиями палочек Непера были предложенные русским изобретателем Г. К. Иоффе в 1881 году («бруски Иоффе») и французскими инженером А. Женаем и математиком Э. Люка в 1891-м («бруски Женая — Люка»). Бруски Женая — Люка позволяли выполнять умножение любого натурального числа на любое натуральное число, при этом пользователь, представляя перенос графически, мог считывать результат умножения без промежуточных расчетов. Принцип действия брусков Иоффе был основан на теореме Слонимского и позволял производить умножение быстрее. Популярность брусков для вычислений оказалась недолгой: вскоре они были вытеснены механическими вычислительными устройствами.

Механические расчеты

В связи с распространением торговых операций и океаническим судоходством возникла потребность в автоматических вычислениях. В двухтомном собрании рукописей итальянского ученого Леонардо да Винчи (XV–XVI век) содержится описание 13-разрядного суммирующего устройства, состоящего из стержней, на которые крепятся два зубчатых колеса: с одной стороны — большее, с другой — меньшее. Суммирующая машина Леонардо да Винчи, однако, так и осталась одним из нереализованных его проектов.

В 1623 году немецкий ученый Вильгельм Шиккард (1592–1635) разработал машину, названную им «счетные часы» и предназначенную для суммирования и умножения шестизначных чисел. Машина Шиккарда состояла из суммирующего устройства, множительного устройства и устройства для записи промежуточных результатов. Устройство было шестиразрядным, в каждом разряде на оси имелись закрепленная шестеренка с десятью зубцами и колесо с одним «пальцем», служившим для передачи десятка в следующий разряд. Были изготовлены два экземпляра машины Шиккарда, однако оба они сгорели во время пожара.

Машины Леонардо да Винчи и Шиккарда были забыты, поэтому длительное время считалось, что создателем первой арифметической машины является французский ученый Блез Паскаль (1623–1662). В 1960-х годах были изготовлены машины Леонардо и Шиккарда, доказавшие свою работоспособность.

Первая модель суммирующей машины Паскаля была создана в 1642 году. В дальнейшем изобретатель неоднократно ее совершенствовал, экспериментируя с материалами и формой деталей. Всего Паскаль создал более 50 моделей машины, названной «Паскалина», из них сохранилось восемь. Машина представляла собой небольшой ящичек с восемью круглыми отверстиями и нанесенной вокруг них круговой шкалой. Шкала крайнего правого отверстия была разделена на 12 частей, соседнего с ним — на 20, остальных — на 10. Такая градуировка была связана с тем, что Паскаль создавал свою машину в помощь отцу, сборщику налогов, и поэтому она соответствовала тогдашней монетной системе (1 ливр = 20 су = 240 денье). В отверстиях располагались зубчатые колеса, число зубьев колеса соответствовало числу делений шкалы данного отверстия. Один из зубцов каждой шестерни был немного удлинен и задевал соседнее колесо. «Паскалина» не получила широкого распространения в связи с ее высокой стоимостью, а также с незначительными вычислительными способностями — в частности, с неудобством выполнения операций вычитания.

В 1673 году Готфрид Лейбниц создал «ступенчатый вычислитель». В основе арифмометра Лейбница лежит ступенчатый валик (или колесо Лейбница), который впоследствии использовался в конструкции вычислительных машин на протяжении трехсот лет. Ступенчатый валик представлял собой цилиндр с зубцами разной длины, которые взаимодействуют со счётным колесом. Передвигая колесо вдоль валика, его вводили в зацепление с необходимым числом зубцов и обеспечивали установку определённой цифры. Механизм ввода слагаемых находился на подвижной каретке. Конструкция арифмометра включала две вращающиеся рукоятки: одна — для сдвига подвижной каретки, другая — для вращения ступенчатого колеса, что позволяло ускорить повторяющиеся операции сложения, при помощи которых выполнялись умножение и деление. Машина работала с 12-разрядными числами, позволяла производить операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Появившиеся в XVII–XVIII веках модели арифмометров не нашли широкого распространения, оставшись в основном в виде демонстрационных моделей.

Век арифмометров

В ходе промышленной революции XIX столетия потребность в механизации счетных работ стала возрастать. В 1820 году появляется «арифмометр Томаса», ставший первым серийно производимым арифмометром. Французский предприниматель Шарль Ксавье Тома де Кольмар (1785-1870) создает свой арифмометр, основанный на принципе Лейбница. Де Кольмар неоднократно выставлял свой арифмометр на различных международных выставках, и хотя его прибор не получил ни одной награды, он намного превзошел по продажам устройства всех остальных изобретателей. Арифмометр продавался в количестве 300–400 экземпляров в год (для того времени — довольно массовый выпуск) вплоть до начала прошлого столетия, то есть почти 90 лет.

В конце XIX века предпринимались также попытки выпуска арифмометра Томаса под иными марками, с внесенными в конструкцию изменениями. В 1874 году шведско-русский инженер Вильгодт Теофил Однер создал новую модель, основанную на применении «колеса Однера» — зубчатки с переменным числом зубцов. В его конструкции колесо имеет 9 выдвижных спиц. Количество выдвинутых спиц определяется углом поворота установочного рычажка до соответствующей цифры на шкале. Колесо Однера оказалось настолько удачным, что без принципиальных изменений применялось во многих последующих моделях арифмометров. В 1877 году на заводе Нобеля был выпущен первый арифмометр Однера, а в 1890 году его производство началось на фабрике Однера — Гиля в Петербурге. В 1897-м Однер стал единоличным владельцем фабрики, после его смерти производство продолжила фирма под названием «Наследники Однера». После Октябрьской революции завод был национализирован, а производство арифмометров прекращено. В 1925 году оно возобновилось на Сущевском заводе имени Дзержинского под прежней маркой «Однер», а с 1931 по 1978 год — «Феликс». Наследники Однера, эмигрировавшие после революции в Швецию, создали там новое производство и стали выпускать арифмометры под маркой «Оригинал-Однер».

Счетные машины типа Однера имели определенные недостатки: постановка рычажков на нужные цифры, обратная их перестановка, движение каретки и вращение барабана производились вручную. В XX веке появились вычислительные машины с электроприводом, в которых вращение барабана и передвижение каретки производилось электродвигателем, а набор чисел выполнялся нажатием клавиш. Это позволяло существенно повысить скорость вычислений по сравнению со счетом на арифмометрах с ручным приводом. Результаты вычислений фиксировались в виде цифр на барабанах, а в некоторых моделях (счетно-записывающих машинах), кроме того, печатались на бумажной ленте, причем могли воспроизводиться не только окончательные, но и промежуточные результаты.